20152015 2015 年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试题 年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试题 年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试题 20152015 2015 3232 32 (1)设函数设函数 设函数 内连续，其中二阶导数内连续，其中二阶导数 内连续，其中二阶导数 的图形如图所示，则曲线的图形如图所示，则曲线 的图形如图所示，则曲线 的拐点的个数为的拐点的个数为 的拐点的个数为 【答案】【答案】 【答案】（（ （CC 【解析】拐点出现在二阶导数等于【解析】拐点出现在二阶导数等于 【解析】拐点出现在二阶导数等于 00 0，或二阶导数不存在的点，并且在这点的左右两侧二阶导函 ，或二阶导数不存在的点，并且在这点的左右两侧二阶导函 ，或二阶导数不存在的点，并且在这点的左右两侧二阶导函 数异号。因此，由 数异号。因此，由 数异号。因此，由 的图形可得，曲线的图形可得，曲线 的图形可得，曲线 存在两个拐点存在两个拐点 存在两个拐点故选（ 是二阶常系数非齐次线性微分方程是二阶常系数非齐次线性微分方程 是二阶常系数非齐次线性微分方程 ayay ay cece ce 个特解，则个特解，则 个特解，则 【答案】【答案】 【答案】（（ （AA 【分析】此题考查二阶常系数非齐次线性微分方程的反问题——已知解来确定微分方程的系数，【分析】此题考查二阶常系数非齐次线性微分方程的反问题——已知解来确定微分方程的系数， 【分析】此题考查二阶常系数非齐次线性微分方程的反问题——已知解来确定微分方程的系数， 此类题有两种解法，一种是将特解代入原方程，然后比较等式两边的系数可得待估系数值，另一 此类题有两种解法，一种是将特解代入原方程，然后比较等式两边的系数可得待估系数值，另一 此类题有两种解法，一种是将特解代入原方程，然后比较等式两边的系数可得待估系数值，另一 种是根据二阶线性微分方程解的性质和结构来求解，也就是下面演示的解法 种是根据二阶线性微分方程解的性质和结构来求解，也就是下面演示的解法 种是根据二阶线性微分方程解的性质和结构来求解，也就是下面演示的解法. 【解析】【解析】 【解析】由题意可知， 由题意可知， 由题意可知， 22 为二阶常系数齐次微分方程为二阶常系数齐次微分方程 为二阶常系数齐次微分方程 00 ayay ay 的解，所以所以 所以2,1 2,1 2,1 20152015 2015 年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试题 年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试题 年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试题 特征征征方方 方程程 arar ar bb ，从而从而 从而 原方程程程变为 变为 变为 33 cece ce ，再将特解，再将特解 ，再将特解 xx xexe xe 代入得代入得 代入得 11 (3) 若级数若级数 若级数 11 条件收敛，则条件收敛，则 条件收敛，则 依次为幂级数依次为幂级数 依次为幂级数 11 nana na xx (A) 收敛点，收敛点收敛点，收敛点 收敛点，收敛点 (B) 收敛点，发散点收敛点，发散点 收敛点，发散点 (C) 发散点，收敛点发散点，收敛点 发散点，收敛点 (D) 发散点，发散点发散点，发散点 发散点，发散点 【答案】【答案】 【答案】（（ （BB 【分析】此题考查幂级数收敛半径、收敛区间，幂级数的性质【分析】此题考查幂级数收敛半径、收敛区间，幂级数的性质 【分析】此题考查幂级数收敛半径、收敛区间，幂级数的性质. 【解析】【解析】 【解析】因为 因为 因为 11 条件收敛，条件收敛， 条件收敛，即即 为幂级数为幂级数 为幂级数 11 的条件收敛点，的条件收敛点，的条件收敛点2015年考研数学二真题及解析，所以 所以 所以 11 的收敛半径为的收敛半径为 的收敛半径为11 ，收敛区间为收敛区间为 收敛区间为(0, .而幂级数逐项求导不改变收敛区间，而幂级数逐项求导不改变收敛区间， 而幂级数逐项求导不改变收敛区间，故故 nana na xx 的收敛的收敛 的收敛 区间还是 区间还是 区间还是(0, .因而因而 因而 33 依次为幂级数依次为幂级数 依次为幂级数 11 nana na xx 的收敛点2015年考研数学二真题及解析，发散点的收敛点，发散点 的收敛点，发散点.. 是第一象限由曲线是第一象限由曲线 是第一象限由曲线22 xyxy xy xyxy xy 与直线与直线 与直线 yy 围成的平面区围成的平面区 围成的平面区 域，函数 域，函数 域，函数 上连续，则上连续，则 上连续，则 dxdydxdy dxdy sin2sin2 sin2 11 2sin22sin2 2sin2 cos cos cos sinsin sin dd rdrrdr rdr sinsin sin 22 2sin2sin 2sin 22 coscos cos sinsin sin dd rdrrdr rdr sinsin sin22 2sin2sin 2sin22 coscos cos sinsin sin dd drdr dr 20152015 2015 年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试题 年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试题 年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试题 sinsin sin22 2sin2sin 2sin 22 coscos cos sinsin sin dd drdr dr 【答案】【答案】 【答案】（（ （BB 【分析】此题考查将二重积分化成极坐标系下的累次积分【分析】此题考查将二重积分化成极坐标系下的累次积分 【分析】此题考查将二重积分化成极坐标系下的累次积分 【解析】先画出【解析】先画出 【解析】先画出DD 的图形，的图形， 的图形， 所以所以 所以 dxdydxdy dxdy sin2sin2 sin2 33 2sin22sin2 2sin2 coscos cos sinsin sin rdrrdr rdr (5) 设矩阵设矩阵 设矩阵 22 ，若集合，若集合 ，若集合 ，则线性方程组，则线性方程组 ，则线性方程组 Ax Ax Ax bb 无穷多解的充分必要条件为无穷多解的充分必要条件为 无穷多解的充分必要条件为 【答案】【答案】 【答案】D 【解析】【解析】 【解析】 22 ，同时，同时 ，同时 11 20152015 2015 年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试题 年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试题 年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试题 设二次型设二次型 在正交变换为在正交变换为 在正交变换为 xxxx Py Py Py Py 下的标准形为下的标准形为 下的标准形为 22 ，其中，其中2015年考研数学二真题及解析，其中 PPPP ee ee ee ee ee ee QQQQ ee ee ee ee ee ee 在正交变换在正交变换 在正交变换 xxxx Qy Qy Qy Qy 下的标准 下的标准 下的标准 【答案】【答案】 【答案】(A) 【解析】由【解析】由 【解析】由 xx PyPy Py AxAx Ax yy APAP AP yy APAP AP PCPC PC AQAQ AQ CC APAP AP CC 所以所以 所以 22 AxAx Ax yy AQAQ AQ yy 为任意两个随机事件，则为任意两个随机事件，则 为任意两个随机事件，则 ABAB AB PP ABAB AB PP ABAB AB ABAB AB 20152015 2015 年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试题 年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试题 年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试题 【答案】【答案】 【答案】(C) 【解析】【解析】 【解析】由于 由于 由于 ABAB AB AA ABAB AB BB ，按概率的基本性质，按概率的基本性质， 按概率的基本性质，我们有 我们有 我们有 ABAB AB PP ABAB AB PP 从而从而 从而 ABAB AB (8)设随机变量设随机变量 设随机变量 不相关，不相关， 不相关，且且 EXEX EX EY EY EY DX DX DX 【答案】【答案】 【答案】(D) 【解析】【解析】 【解析】 22 XYXY XY XX XYXY XY EE 9999 1414 14 14 4444 2424 24 24 lnln ln cos cos cos lim lim lim 【答案】【答案】 【答案】 11 【分析】此题考查【分析】此题考查 【分析】此题考查 00 型未定式极限，可直接用洛必达法则，也可以用等价无穷小替换型未定式极限，可直接用洛必达法则，也可以用等价无穷小替换 型未定式极限，可直接用洛必达法则，也可以用等价无穷小替换. 【解析】方法一：【解析】方法一： 【解析】方法一： 22 sinsin sin ln(cos ln(cos ln(cos tantan tan 11 coscos cos lim lim lim lim lim lim lim lim lim 方法二：方法二： 方法二： 22 ln(cosln(cos ln(cos ln(1ln(1 ln(1 cos cos cos coscos cos 11 limlim lim lim lim lim lim lim lim lim lim lim (10) (10) (10) 22 sinsin sin coscos cos xx 20152015 2015 年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试题 年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试题 年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试题 【答案】【答案】 【答案】 22 【分析】此题考查定积分的计算，需要用奇偶函数在对称区间上的性质化简【分析】此题考查定积分的计算，需要用奇偶函数在对称区间上的性质化简 【分析】此题考查定积分的计算，需要用奇偶函数在对称区间上的性质化简. 【解析】【解析】 【解析】 22 sinsin sin 22 coscos cos 44 dxdx dx xdx xdx xdx xx (11)(11) (11)若函数 若函数 若函数 由方程由方程 由方程 cos cos cos 22 xyzxyz xyz xx 确定，则确定，则 确定，则 (0,1) (0,1) (0,1) dd 【答案】【答案】 【答案】 dx dx dx 【分析】此题考查隐函数求导【分析】此题考查隐函数求导 【分析】此题考查隐函数求导. 【解析】令【解析】令 【解析】令 coscos cos 22 xyzxyz xyz xx sinsin sin yzyz yz xx xzxz xz FF xyxy xy 所以所以 所以 (0,1) (0,1) (0,1) (0,1) (0,1) (0,1) (0,1,0) (0,1,0) (0,1,0) (0,1,0) (0,1,0) (0,1,0) (0,1,0)(0,1,0) (0,1,0) (0,1,0) (0,1,0) (0,1,0) yy ，因而，因而 ，因而 (0,1) (0,1) (0,1) dzdz dz dx dx dx (12)(12) (12) 设设 dxdydzdxdydz dxdydz WW 【答案】【答案】 【答案】 11 【分析】此题考查三重积分的计算，可直接计算，也可以利用轮换对称性化简后再计算【分析】此题考查三重积分的计算，可直接计算，也可以利用轮换对称性化简后再计算 【分析】此题考查三重积分的计算，可直接计算，也可以利用轮换对称性化简后再计算. 【解析】由轮换对称性，得【解析】由轮换对称性，得 【解析】由轮换对称性，得 dxdydzdxdydz dxdydz zdxdydz zdxdydz zdxdydz zdz zdz zdz dxdy dxdy dxdy WW 其中其中 其中 zz 为平面为平面 为平面zz 截空间区域截空间区域 截空间区域 WW 所得的截面，其面积为所得的截面，其面积为 所得的截面，其面积为 22 .所以所以 所以 dxdydzdxdydz dxdydz zdxdydz zdxdydz zdxdydz zz dzdz dz zz dzdz dz WW 20152015 2015 年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试题 年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试题 年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试题 (13)(13) (13) 阶行列式阶行列式 阶行列式 22 【答案】【答案】 【答案】 11 【解析】【解析】 【解析】 按第一行展开得 按第一行展开得 按第一行展开得 (14)(14) (14)设二维随机变量 设二维随机变量 设二维随机变量(( 服从正态分布服从正态分布 服从正态分布 (1,0 (1,0 (1,0;1,1,0) ;1,1,0) ;1,1,0)，则 XYXY XY YY 【答案】【答案】 【答案】 【解析】由题设知，【解析】由题设知， 【解析】由题设知， (1,1),(1,1), (1,1), (0,1)(0,1) (0,1) XX ，而且，而且2015年考研数学二真题及解析，而且 XX 相互独立，从而相互独立，从而 相互独立，从而 XYXY XY YY 1515 15 15 23 23 23 23 9494 94 94 (15)((15)( (15)(本题满分 本题满分 本题满分10 10 10 分分 ) 设函数设函数 设函数 ln(ln( ln(11 sinsin sin bxbx bx xx kxkx kx 是等价无穷小，求是等价无穷小，求 是等价无穷小，求 20152015 2015 年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试题 年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试题 年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试题 【答案】【答案】 【答案】 【解析】法一：原式【解析】法一：原式 【解析】法一：原式 lnln ln 11 sinsin sin lim lim lim 11 bxbx bx xx kxkx kx limlim lim 11 bxbx bx xx kxkx kx limlim lim 11 kxkx kx lnln ln 11 sinsin sin lim lim lim 11 bxbx bx xx kxkx kx sinsin sin cos cos cos 11 limlim lim 11 bxbx bx xx kxkx kx 因为分子的极限为因为分子的极限为 因为分子的极限为 00 coscos cos sin sin sin 11 limlim lim 11 bxbx bx xx kxkx kx ，分子的极限为，分子的极限为 ，分子的极限为 00 sinsin sin sin sin sin cos cos cos 11 limlim lim 11 bxbx bx xx (16)((16)( (16)(本题满分 本题满分 本题满分10 10 10 分分 ) 设函数设函数 设函数 在定义域在定义域 在定义域II 上的导数大于零，上的导数大于零， 上的导数大于零，若对任意的 若对任意的 若对任意的 00 20152015 2015 年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试题 年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试题 年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试题 处的切线与直线处的切线与直线 处的切线与直线 00 轴所围成区域的面积恒为轴所围成区域的面积恒为 轴所围成区域的面积恒为 44
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